અસમતા $(\tan^{-1} x)(\cot^{-1} x) - (\tan^{-1} x)(1 + \frac{\pi}{2}) - 2\cot^{-1} x + 2(1 + \frac{\pi}{2}) > \lim_{x \to \infty} [\sec^{-1} x - \frac{\pi}{2}]$ નો ઉકેલ ગણ શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે):

જો સમીકરણ $\sin^{-1} \sqrt{1-x^2} = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2}{x}-1}$ નું સમાધાન કરતું $x$ નું મૂલ્ય $\frac{a}{b}$ હોય (જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે),તો $a^2 + b^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\tan ^{-1}(x) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,$x \in R$ માટે. તો સમીકરણ $\sqrt{1+\cos (2 x)}=\sqrt{2} \tan ^{-1}(\tan x)$ ના ગણ $\left(-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ માં વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો $y = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+x+x^{2}}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}+2x+3}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}+5x+7}\right) + \dots + n \text{ પદો}$,તો $y'(0)$ શોધો.

જો $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \sec^{-1}\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)$ હોય,તો $x = \sqrt{3}$ આગળ $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ $\sin \left[2 \cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}\right]=0$ ના $1$ કે તેથી મોટા વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા કેટલી છે?